Bài 2: Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến

I. ĐƠN THỨC MỘT BIẾN. ĐA THỨC MỘT BIẾN

a. Đơn thức một biến

Đơn thức một biến là là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc tích của một số với lũy thừa có số mũ nguyên dương của biến đó.

Ví dụ. \(10x\) và \(3x^5\) là các đơn thức một biến \(x.\)

Chú ý.

• Mỗi đơn thức một biến \(x\) (không phải là một số) sẽ có dạng \(ax^k\) trong đó \(a\) là số thực khác \(0\); \(k\) là số nguyên dương. Lúc đó số \(a\) được gọi là hệ số của đơn thức \(ax^k\).
• Một số thực khác \(0\) được coi là một đơn thức với số mũ của biến là \(0\).

b. Đa thức một biến

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức một biến.

Ví dụ. 

a) \(3x^2-5x+1\) là đa thức của biến \(x.\)

b) \(5-4a\) là đa thức của biến \(a.\)

c) \(5-\dfrac{4}{x}\) không phải là đa thức một biến.

Chú ý.

• Mỗi số được xem là một đa thức (một biến), số \(0\) được gọi là đa thức không. Mỗi đơn thức cũng là một đa thức.
• Ta kí hiệu đa thức một biến \(x\) là \(A\left(x\right);B\left(x\right);P\left(x\right);Q\left(x\right);...\)

II. CỘNG, TRỪ ĐƠN THỨC CÓ CÙNG SỐ MŨ CỦA BIẾN

Để cộng (hay trừ) hai đơn thức có cùng số mũ của biến ta cộng (hay trừ) hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến

\(ax^k+bx^k=\left(a+b\right)x^k;ax^k-bx^k=\left(a-b\right)x^k\) (\(k\inℕ^∗\)).

Ví dụ. Thực hiện các phép tính sau

 a) \(7x+2x\);                          b) \(2x^2-7x^2\);                    c) \(x^5+6x^5-4x^5\). 

Giải

a) \(7x+2x=\left(7+2\right)x=9x.\)

b)\(2x^2-7x^2=\left(2-7\right)x^2=-5x^2.\)

c)\(x^5+6x^5-4x^5=\left(1+6-4\right)x^5=2x^5.\)

III. SẮP XẾP ĐA THỨC MỘT BIẾN

1. Thu gọn đa thức

Thu gọn đa thức một biến là làm cho đa thức đó không còn hai đơn thức nào có cùng số mũ của biến.

Ví dụ. Thu gọn đa thức \(P\left(x\right)=2x^2-x^2-3x^3+2x^3+5x^5-x^5+4x-x+1\).

Giải

Ta có

\(P\left(x\right)=2x^2-x^2-3x^3+2x^3+5x^5-x^5+4x-x+1\)

\(P\left(x\right)=\left(2-1\right)x^2+\left[\left(-3\right)+2\right]x^3+\left(5-1\right)x^5+\left(4-1\right)x+1\)

\(P\left(x\right)=x^2-x^3+4x^5+3x+1.\)

Vậy dạng thu gọn của đa thức là \(P\left(x\right)=x^2-x^3+4x^5+3x+1.\)

2. Sắp xếp một đa thức

Sắp xếp đa thức (một biến) theo số mũ gảm dần (hoặc tăng dần) của biến là sắp xếp các đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức đó theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.

Chú ý. Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của mỗi đơn thức được gọi là hệ số của đa thức đó.

Ví dụ. Sắp xếp các đa thức sau theo số mũ giảm dần của biến

a) \(A\left(x\right)=-2x+3x^3-4x^2+5;\)

b) \(B\left(x\right)=4x^2-3x^3+2x^2+x^3-4x+7-2x+1\)

Giải

a)  Ta có

\(A\left(x\right)=-2x+3x^3-4x^2+5\)

\(A\left(x\right)=3x^3-4x^2-2x+5\).

b) Thu gọn đa thức 

\(B\left(x\right)=4x^2-3x^3+2x^2+x^3-4x+7-2x+1\)

\(B\left(x\right)=\left(4+2\right)x^2+\left[\left(-3\right)+1\right]x^3+\left[\left(-4\right)+\left(-2\right)\right]x+\left(7+1\right)\)

\(B\left(x\right)=6x^2-2x^3-6x+8\)

Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến

\(B\left(x\right)=-2x^3+6x^2-6x+8.\)

IV. BẬC CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ cao nhất của biến trong đa thức đó.

Chú ý.

• Trong dạng thu gọn của đa thức; hệ số của lũy thừa với số mũ cao nhất của biến còn gọi là hệ số cao nhất của đa thức; số hạng không chứa biến gọi là hệ số tự do của đa thức.
• Một số khác không là đa thức bậc \(0.\)
• Đa thức không (số \(0\)) không có bậc.

Ví dụ: Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức \(P=x^3+2x^2-x^3+4x-2.\)

Giải

Ta thu gọn đa thức \(P=x^3+2x^2-x^3+4x-2\)

\(P=\left(x^3-x^3\right)+2x^2+4x-2\)

\(P=2x^2+4x-2\)

Trong dạng thu gọn của \(P\), hạng tử có bậc cao nhất là \(2x^2\) nên bậc của \(P\) là \(2\); hệ số cao nhất là \(2\); hạng tử bậc không là \(-2\) nên hệ số tự do là \(-2.\)

V. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

Nhận xét. Giá trị của đa thức \(P\left(x\right)\) tại \(x=a\) là \(P\left(a\right).\)

Nếu tại \(x=a\), đa thức \(P\left(x\right)\) có giá trị bằng \(0\) thì ta nói \(a\) (hoặc \(x=a\)) là một nghiệm của đa thức đó.

Chú ý. \(x=a\) là nghiệm của đa thức \(P\left(x\right)\) nếu \(P\left(a\right)=0.\)

Ví dụ: \(x=1\) là một nghiệm của đa thức \(F\left(x\right)=2x^2-3x+1\) vì \(F\left(1\right)=2.1^2-3.1+1=0\).

Nhận xét. Nếu đa thức có hệ số tự do bằng \(0\) thì \(x=0\) là một nghiệm của đa thức đó.

Ví dụ: Đa thức \(A\left(x\right)=-4x^2+3x\) có một nghiệm là \(x=0.\)